Η ομορφιά των μαθηματικών

[Κουφη Λεοπαρδαλη]

Θέμα για κάθε τι μαθηματικό, θεωρία αριθμών, σχέση με φυσική και φύση, όμορφες αποδείξεις και ανοιχτά ερωτήματα.

Ξεκινάω με μια πανέμορφη αναπαράσταση της πασίγνωστης και (παν)χρήσιμης σταθεράς e = 2.71..., με άμεση σχέση με τους πρώτους αριθμούς (2, 3, 5, 7, 11...);

Όπου π( n ) είναι η prime counting function, απλά μετράει πόσοι (π)ρώτοι αριθμοί υπάρχουν μικρότεροι από έναν οποιαδήποτε αριθμό n.

Η ομορφιά της εξίσωσης είναι πως, εν ποιητική αδεία μας λέει "το άπειρο υψωμένο στο ποσοστό των πρώτων αριθμών μας δίνει ακριβώς το e = 2.71..."
Μπορείτε να καταλάβετε, σε όσο πιο μεγάλο αριθμό n ανεβαίνουμε, οι πρώτοι αριθμοί γίνονται όλο και πιο σπάνιοι, τόσο δε, που ένας τεράστιος αριθμός n έχει τόσους λίγους πρώτους σε σύγκριση, που υψωμένο στο ποσοστό π( n )/n προσεγγίζουμε έναν αριθμό, τον 2.71... που είναι πολύ κοντά στο μηδέν.

Κλείνω με ένα ανοιχτό ερώτημα των μαθηματικών, την Υπόθεση Ρίμαν.

Πάλι σχετίζεται με τους πρώτους αριθμούς, απ'τα βασικότερα προβλήματα των μαθηματικών εδώ και σχεδόν 2 αιώνες.
Έχει τρόπαιο €1 εκατ. δολλάρια από ένα μεγάλο ινστιτούτο και παγκόσμια φήμη σε όποιον το λύσει πρώτος.

Αναζητεί μια βαθύτερη τάξη και συμμετρία στους πρώτους αριθμούς ανάμεσα στους φυσικούς (1, 2, 3, 4...). Αν η απόδειξη είναι καταφατική προς την ορθότητα της υπόθεσης, θα σημαίνει σε απλή γλώσσα "οι πρώτοι είναι κατανεμημένοι όσο πιο καλά γίνεται."
Απ'την άλλη αν αποδειχθεί λανθασμένη, θα είναι κόκκινο καμπανάκι και πως οι πρώτοι είναι πιο χαοτικοί από όσο υπέθεταν οι μαθηματικοί.

Τέλος, μια, τόσο επιθυμητή απόδειξη μετά από πολλές πολλές προσπάθειες πολλών χρόνων θα ήταν κατεδαφιστική και ένα "master key" που θα μεταμορφώνε πολλές άλλες έρευνες από υποθέσεις σε αποδείξεις. Γιατί υπάρχουν πολλές τέτοιες που εξαρτώνται, ως τελευταίο κομμάτι του παζλ, απ'την Υπόθεση Ρίμαν.
Και το καθόλου αμελητέο κέρδος από μία απόδειξη νέων και δυνατών εργαλείων και τεχνικών.

Ο λόγος σε σας μαθηματικοί φανς του φόρουμ.

 

[Κουφη Λεοπαρδαλη]

Ο αριθμός 1,05946 - Ο αφανής ήρωας της μουσικής.

Ο πρώτος άνθρωπος στην αρχαιότητα που ανακάλυψε τον πρώτο άρρητο αριθμό, πιθανότατα την ρίζα του 2, ίσως τον θεώρησε άχρηστο. Έχουμε πολλά τέτοια παραδείγματα όπως με την έννοια του μηδέν, αρνητικούς αριθμούς και ρίζες αρνητικών αριθμών (complex numbers). Μόνο στην πορεία άλλαξαν τον κόσμο.

Έτσι και στην μουσική, η δωδέκατη ρίζα του 2 = 1,05946... ,που υπολογίστηκε πρώτη φορά με μεγάλη ακρίβεια απ'τον κινέζο πρίγκηπα Zhu Zaiyu τον 16ο αιώνα, έμελλε να είναι μέχρι τις μέρες μας η θεμέλιος λίθος για το πώς να κουρδίσουμε 12 νότες.
Το πιάνο, η ακριβής τοποθέτηση στα τάστα των εγχόρδων και ένα μύρια άλλα όργανα σε όλη την δύση και όχι μόνο.

Το σύστημα, λεγόμενο ίσος συγκερασμός (equal temperament) θυσιάζει την απόλυτη αρμονία, μικρά δηλαδή κλάσματα για τα διαστήματα, (που είναι και αδύνατη ανάμεσα σε 12 νότες) για χάρην της συνέπειας/ consistency. Όλες οι νότες είναι λίγο εκτός, χωρίς όμως να έχουμε κάποιον συνδυασμό πολύ διάφωνο (πχ. wolf fifth), όπως με προηγούμενα συστήματα.

Ένας αν μη τι άλλο ξένος αριθμός στο ευρύ κοινό, και φαντάζει πολύ περίπλοκος ειδικά σε όσους έχουν αλλεργία στα μαθηματικά.
Όμως απλά απαντάει στο ερώτημα "πώς να έχω 12 νότες της οκτάβας σε ίση απόσταση".
Ξεκινώντας με μια νότα οποιαδήποτε συχνότητας πολλαπλασιάζεις με 1,05946 για να βρεις το επόμενο ημιτόνιο. Μετά από 12 πολλαπλασιασμούς θα έχουμε 1,99999 φορές την αρχική συχνότητα, πολύ πολύ κοντά στο 2, δηλαδή την οκτάβα. (η ακρίβεια είναι τέτοια που η μικρή απόκλιση δεν εντοπίζεται απ'το αυτί)

Η τέλεια ακρίβεια, 2, είναι και αδύνατη και άχρηστη.

Αυτός ήταν λοιπόν ο αριθμός 1.05946. Όλοι οι μουσικοί οφείλουν να τον έχουν σε κορνίζα σε περίοπτη θέση.

 

[Jet72]

Νομίζω ότι το φυσικό ακόλουθο στο παραπάνω post είναι κάποιο από τα βίντεο που εξηγούν το γιατί ο EVH ξεκούρδιζε λίιιιιιιιγο την ΣΙ, για να πετύχει καλύτερο ηχητικό αποτέλεσμα στα ματζόρε με πολύ gain. Έπρεπε να "ξεφύγει" από το ελαφρύ φάλτσο του ίσου συγκερασμού.

 

[Κουφη Λεοπαρδαλη]

Φυσικά, αλλά δουλεύει μόνο για τις τρίτες στην Σι εκεί (πχ. οι πέμπτες πήγαν περίπατο) και μόνο για το συγκεκριμένο μέρος του μανικιού. Ειδικά για distortion ναι το βοηθάει να ακουστεί καλύτερα το ριφφ.

Πόσο καλά προσεγγίζονται τα διαστήματα του equal temperament σε σχέση με just (τέλειο) intonation:
(Όπου P = perfect, M = major και m = minor)

P5 & P4 = 99.9%
M2 & m7 = 99.8%
Tritone = 99.4%
m2 & M7 = 99.3%
M3 & m6 = 99.2%
m3 & M6 = 99.1%

 

[Κουφη Λεοπαρδαλη]

Μία απ'τις πιο εύηχες συγχορδίες ΔΕΝ τυχαίνει να έχει και μαθηματικά πολύ απλή κατασκευή.

Έτσι μια τετράφωνη ματζόρε-add2 (πχ. ντο, ρε, μι, σολ) στην τέλεια μορφή της (just intonation) έχει διαστήματα 9/8, 5/4 και 3/2. Αν τα γράψουμε ως δεκαδικούς θα γίνει αμέσως κατανοητή η απλή συμμετρία:
• (τονική = 1, ντο)
• 1.125 , ρε
• 1.25 , μι
• 1.5 , σολ
• (οκτάβα = 2)

Βλέπουμε την εξής συμμετρική κατασκευή: από κάτω προς τα πάνω ο επόμενος αριθμός είναι στην μέση (ή μέσος όρος). Της οκτάβας η πέμπτη, της πέμπτης η μεγάλη τρίτη, και της μεγ. τρίτης ο τόνος.

(Φυσικά στο equal temperament προσεγγίζεται μονάχα, αλλά απ'τις 6 σχέσεις διαστημάτων που υπάρχουν σε αυτήν την συγχορδία οι 2 είναι τρίτες, που φαλτσάρουν λίγο παραπάνω, αλλά οι υπόλοιπες 4 είναι 1 πέμπτη, 1 τετάρτη και 2 τόνοι που είναι σχεδόν τέλεια κουρδισμένες ενισχύοντας την όλη συγχορδία.)

Επίσης έχουμε σχεδόν την πεντατονική κλίμακα, απομένει μονάχα να προσθέσουμε την Λα (5:3).
Που όμως αν πάμε να παίξουμε Λα μινόρε πεντατονική ΔΕΝ σχηματίζει τέλεια τετάρτη με την Ρε. Εκεί θα κουρδίζαμε με βάση την Λα να πάρουμε μία διαφορετική Ρε. (τέτοιες δυσκολίες του just intonation άλλωστε οδήγησαν ιστορικά σε άλλα συστήματα μέχρι και να καταλήξουμε στην equal temperament)