Δύο μαθηματικά προβλήματα

[publius]

ΔΕΝ ειμαι μαθηματικός!

Αν και εν μέρει συμφωνώ με τους προλαλήσαντες, κάποια στιγμή θα επαναληφθούν οι ίδιες φόρμες όπως επαναλαμβάνονται και στα ψηφιακά ηλεκτρονικά που κάπως προσδιορίζει και ο harilatron με το 4 bit σύστημα, το οποίο εννοείται οτι μεγαλώνει αλλά και πάλι κάποια στιγμή επαναλαμβάνεται.

Δεν έχω να σου δώσω απ'ευθείας λύση για το πρώτο πρόβλημα αλλά σου προτείνω να κοιτάξεις του ορθογώνιους πίνακές του Hadamard οι οποίοι χρησιμοποιούνται αρκετά χρόνια τώρα για τις λύσεις Design of Experiments (DoE), Taguchi Analysis και γενικά για τη δημιουργία διαδικασιών τυχαίας δειγματοληψίας. Εννοείται με την λογική του business process re-engineering. Δεν ξέρω κατα πόσο μπορεί να είναι αέναη αυτή η διαδικασία αλλά η τυχαιότητα αν και καταγεγραμμένη, δεν οδηγεί σε συμπέρασμα δια γυμνού οφθαλμού ή αυτιού αλλά μετά από αρκετούς υπολογισμούς.

Για το 2 διατηρώ τις επιφυλάξεις μου.

 

[Banned]

Έχοντας διαβάσει και παρακολουθήσει την ανισορροπία που σας δέρνει, αγαπητοί συνάδελφοι, θέλω να ρίξω στο τραπέζι και τα εξής:

Μην σας ξεγελάσει η αναφορά στην περιοδικότητα. Είναι με περίοδο φεύγα.

Αυτά είδε και ο Barker και έκανε το γνωστό στις diffuser array κατασκευές, Barker modulation.

http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_length_sequence

http://gaussianwaves.blogspot.com/2010/09/maximum-length-sequences-m-sequences.html

Μια άλλη, ολίγο προς την πατέντα, ιδέα είναι να πάρεις έναν άρρητο και μη περιοδικό (για παράδειγμα τον π), να επιλέξεις ένα word length πρώτο (το οποίο αντιστοιχεί στους συνδυασμούς σου) και να εφαρμόσεις μια modulo(N). Το τελευταίο θέλει λίγο ραφινάρισμα, αλλά προέκυψε ως τρικυμία εν κρανίω.

 

[PlasmaPool]

Εαν δεν κανω λαθος νομιζω οτι μιλας για καποιο προβλημα τυχαιου περιπατου (random walk) . Δες το παρακατω λινκ κ συγκεκριμενα το one-dimensional random walk.

http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk

Δες και τον λευκο θορυβο εαν θες.

 

[theoctapus]

I.

Αν υποθέσουμε ότι η βασική απαίτηση είναι η μη-προβλεψιμότητα του επόμενου χαρακτήρα, η απλή τυχαία 50-50 επιλογή είναι επαρκής και αυτό γιατί δεν υπαρχει κανένας τρόπος να προβλέψεις τον επόμενο χαρακτήρα βάσει μοτίβων που έχουν ήδη εμφανιστεί. Η εκ των υστέρων ανάλυση της ακολουθίας ανακαλύπτει μόνο τα μοτίβα που έχουν ήδη εμφανιστεί, δεν μπορεί να δώσει στοιχεία για το τι θα ακολουθήσει.

Με δύο μόνο χαρακτήρες δεν γίνεται να μην επανεμφανίζονται μοτίβα οποιουδήποτε μήκους. Για την ακρίβεια, αν θεωρήσουμε μια άπειρη σε μήκος ακολουθία άπειρων χαρακτήρων, πάντα θα υπάρχουν άπειρα μοτίβα άπειρου μήκους που θα επαναλαμβάνονται άπειρες φορές. Αν κρατήσουμε το άπειρο μήκος ακολουθίας και όλα τ' άλλα τα θεωρήσουμε πεπερασμένα, πάλι θα έχουμε άπειρες επαναλλήψεις.

Αυτά είναι βέβαια θεωρητικά. Η ακολουθία προφανώς δεν θα είναι άπειρη σε μήκος. Τότε η πιθανότητα να επαναληφθεί ένα μοτίβο n-χαρακτήρων σε μήκος, είναι μη μηδενική και πλησιάζει ασυμπτωτικά το 1 (την βεβαιότητα) όσο αυξάνεται το μήκος. Εδώ μάλλον ισχύει ο νόμος των μεγάλων αριθμών.

Όμως, η δυνατότητα πρόβλεψης δεν υπάρχει αφού η επιλογή είναι τυχάια 50-50. Στην ουσία πρόκειται για το κλασσικό πείραμα με το νόμισμα. Ποιά η πιθανότητα να έχουμε Γράμματα όταν έχουμε ήδη καταγράψει π.χ. ΚΓΓΚΚΚΓΚΓΓΚ; Προφανώς 0,5 (το νόμισμα δεν έχει μνήμη).

ΙΙ.

Το πρόβλημα δεν είναι καλά ορισμένο. Έχει πολλά κενά ώστε να κατασκευαστεί κάποιο πρόγραμμα που να κάνει τους υπολογισμούς. Στην ουσία δεν πρόκειται για μαθηματικό πρόβλημα, αλλά για πρόβλημα μέτρησης σε 2 διαστάσεις. Πιθανά ερωτήματα είναι, ποιά η καμπυλότητα των καμπύλων γραμμών σε διατομές συγκεκριμένου μήκους του οριζόντιου άξονα, τα σημεία που η καμπύλη τέμνει τον οριζόντιο άξονα ισαπέχουν, οι καμπύλες σχηματίζουν ημικύκλια με τον οριζόντιο άξονα, αν υποθέσουμε ότι οι καμπύλες σχηματίζουν ημικύκλια και έχουμε ομόκεντρα ημικύκλια, η απόσταση των παρακείμενων σημείων τομής του ευθυγράμμου τμήματος που ξεκινά από το κέντρο, με την καμπύλη είναι πάντα η ίδια κ.α.

 

[gdevelek]

I.

Αν υποθέσουμε ότι η βασική απαίτηση είναι η μη-προβλεψιμότητα του επόμενου χαρακτήρα, η απλή τυχαία 50-50 επιλογή είναι επαρκής και αυτό γιατί δεν υπαρχει κανένας τρόπος να προβλέψεις τον επόμενο χαρακτήρα βάσει μοτίβων που έχουν ήδη εμφανιστεί.Η εκ των υστέρων ανάλυση της ακολουθίας ανακαλύπτει μόνο τα μοτίβα που έχουν ήδη εμφανιστεί, δεν μπορεί να δώσει στοιχεία για το τι θα ακολουθήσει.

Με δύο μόνο χαρακτήρες δεν γίνεται να μην επανεμφανίζονται μοτίβα οποιουδήποτε μήκους.

+1

 

[Banned]

I.

Αν υποθέσουμε ότι η βασική απαίτηση είναι η μη-προβλεψιμότητα του επόμενου χαρακτήρα, η απλή τυχαία 50-50 επιλογή είναι επαρκής και αυτό γιατί δεν υπαρχει κανένας τρόπος να προβλέψεις τον επόμενο χαρακτήρα βάσει μοτίβων που έχουν ήδη εμφανιστεί.Η εκ των υστέρων ανάλυση της ακολουθίας ανακαλύπτει μόνο τα μοτίβα που έχουν ήδη εμφανιστεί, δεν μπορεί να δώσει στοιχεία για το τι θα ακολουθήσει.

Με δύο μόνο χαρακτήρες δεν γίνεται να μην επανεμφανίζονται μοτίβα οποιουδήποτε μήκους.

Επί αυτού λοιπόν, οι ML σειρές δίνουν μηδενικό autocorrelation. Δηλαδή μη περιοδικότητα, για το μέγιστο δυνατό διάστημα (γιατί όπως σωστά λες, είναι πεπερασμένο). Η προσέγγιση 50-50 δεν το καλύπτει αυτό. Την αδυναμία πρόβλεψης, προφανώς και την καλύπτει.

 

[theoctapus]

Τις συγκεκριμένες σειρές δεν τις γνωρίζω, αλλά φαντάζομαι ότι μεγιστοποιούν το μήκος στο οποίο δεν εμφανίζεται περιοδικότητα, δεν εξαλείφουν την περιοδικότητα. Χωρίς να είμαι σε θέση να μπορώ να το αποδείξω και μαθηματικά, φαντάζομαι ότι η περιοδικότητα είναι αδύνατο να εξαλειφθεί (πάντα με δεδομένους τους όρους του προβλήματος).

 

[Banned]

Τις συγκεκριμένες σειρές δεν τις γνωρίζω, αλλά φαντάζομαι ότι μεγιστοποιούν το μήκος στο οποίο δεν εμφανίζεται περιοδικότητα, δεν εξαλείφουν την περιοδικότητα. Χωρίς να είμαι σε θέση να μπορώ να το αποδείξω και μαθηματικά, φαντάζομαι ότι η περιοδικότητα είναι αδύνατο να εξαλειφθεί (πάντα με δεδομένους τους όρους του προβλήματος).

You missed a link there now, didn't ya...

http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_length_sequence

 

[theoctapus]

Διόρθωση, όχι περιοδικότητα (κάτι τέτοιο υπονοεί επανάληψη σε συγκεκριμένα διαστήματα) αλλά απλή επανάληψη. Το πρόβλημα είναι δυσκολότερο από την εξάλειψη μιάς περιοδικότητας.

You missed a link there now, didn't ya...

Nope, I didn't. Reading a wiki doesn't add up to actually knowing about something, does it? 

 

[Banned]

Διόρθωση, όχι περιοδικότητα (κάτι τέτοιο υπονοεί επανάληψη σε συγκεκριμένα διαστήματα) αλλά απλή επανάληψη. Το πρόβλημα είναι δυσκολότερο από την εξάλειψη μιάς περιοδικότητας.

Σωστός.

Nope, I didn't. Reading a wiki doesn't add up to actually knowing about something, does it?

It's a starting point though sport.

Πέραν τούτων, και για να επιστρέψω στο αρχικό πρόβλημα, η απλούστερη λύση που μπορώ καταληκτικά να σκεφτώ είναι να ποτίσεις τους ακροατές, κατά τρόπον ούτως ώστε να απωλέσουν κάθε έννοια συνέχειας και αναγνώρισης ενδεχόμενης επανάληψης. Άσε που πιθανότατα θα έχουν φύγει πολύ πριν κάτι τέτοιο συμβεί. Αν αυτό δεν συμβεί, φύγε με τρόπο, αφήνοντας τον γιαπωνέζο στην ένδειξη "auto".

 

[theoctapus]

Πέραν τούτων, και για να επιστρέψω στο αρχικό πρόβλημα, η απλούστερη λύση που μπορώ καταληκτικά να σκεφτώ είναι να ποτίσεις τους ακροατές, κατά τρόπον ούτως ώστε να απωλέσουν κάθε έννοια συνέχειας και αναγνώρισης ενδεχόμενης επανάληψης. Άσε που πιθανότατα θα έχουν φύγει πολύ πριν κάτι τέτοιο συμβεί. Αν αυτό δεν συμβεί, φύγε με τρόπο, αφήνοντας τον γιαπωνέζο στην ένδειξη "auto".

Έεεετσι, thinking out of the box.  ;D